도심(Centroid) 계산법

0. 도심(Centroid)의 의미와 필요성

 도심은 물체나 도형의 기하학적 중심으로 밀도가 균일할 경우 무게 중심이 도심과 같아진다. 정역학에서 물체에게 작용하는 분포력은 하중분포의 도심에 작용하는 집중력으로 치환가능하다. 즉, 전체 힘의 작용점 역할을 하는 것으로 이해할 수 있다. 대표적인 예시로 물체의 작용하는 중력도 물체의 각 부분에 작용하는 힘이 모인 분포력이지만, 중력 중심에 작용하는 단일 힘으로 치환하여 계산할 수 있다. 이렇게 도심과 무게 중심($\cong$ 중력 중심)이 다양한 역학 문제에서 중요하게 다뤄지므로 도심의 계산 방법을 설명한다.

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1. 도심(Centroid) 계산=1차 모멘트 계산

 도심 계산은 모멘트 합이 같다는 원리를 이용하면 쉽게 구할 수 있다. 우선 2차원 평면에서 평면 도형의 도심을 구하는 과정을 예시로 설명한다.

[그림 1] 평면 도형의 도심

 그림 1과 같이 평면 도형을 정사각형 모양으로 무한에 가깝게 자르면 정사각형이 미분요소가 되고 그 넓이 dA는 dxdy로 표현된다. (미분요소는 정사각형말고도 다양한 방식으로 설정할 수 있고 그에 따라 dA를 표현하는 식이 달라진다.)

 

 미분 요소를 이용해서 1차 모멘트를 구할 수 있다.1차 모멘트란 쉽게 말해서 (거리)x(요소)의 전체 합이다. (여기서 요소는 면적 요소인 dA 말고도 길이 요소 dL, 체적 요소 dV, 질량 요소 dm, 힘 요소 dF 등등 다양하게 대체 가능하고 각 요소에 따라서 정의되는 물리량이 달라진다. 또한 거리는 부호가 있다.)  

 

$\int \int x dxdy=\int_{A}^{}xdA $

$\int \int y dxdy=\int_{A}^{}ydA $

[수식 1] x,y 1차 모멘트 

 

 1차 모멘트가 (거리)x(요소)의 합이므로 2차원 좌표계에서 1차 모멘트는 x방향과 y방향 두가지로 정의된다. 그런데 이 1차모멘트를 미분 요소가 아닌 전체 면적에 적절한 거리를 곱하여서 한번에 계산하고 싶다. 즉, 1차모멘트를 (대표거리)x(전체 면적)으로 표현하고 싶을 때, "대표거리=도심의 해당 좌표"가 된다. 

 

$\int \int x dxdy=\int_{A}^{}xdA =\overline{x} \times A$

$\int \int y dxdy=\int_{A}^{}ydA=\overline{y} \times A $

[수식 2] 도심으로 구한 1차 모멘트

 

 위 결과를 이용하면 도심의 좌표를 구하는 식을 정의할 수 있다.

$\overline{x}=\frac{\int_{A}^{}xdA }{A}$

$\overline{y}=\frac{\int_{A}^{}ydA }{A}$

[수식 3] 평면 도형의 도심 계산

 

이와 같이 모멘트 합이 같다는 원리를 이해하고 적분 계산을 할 수 있다면 차원이 높아지거나 요소가 달라지더라도 충분히 도심을 구할 수 있다. 

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2. 적절한 미분 요소 설정 ->저차원 적분 가능

 위 과정에서는 미분 요소가 dxdy이므로 2중적분으로 계산해야한다. 그러나 미분 요소를 적절하게 설정함으로써 적분의 차원을 낮출 수 있다.

[그림 2] 미분 요소 재설정으로 인한 1차원 적분

 그림과 같이 x에 따른 세로 높이 l(x)를 정의할 수 있을 때, 미분 요소를 1차원 (l(x)dx=dA)으로 바꿀 수 있다. (가로 폭을 정의할 수 있다면 가로 폭 w(y)dy=dA로 정의할 수도 있다. 적분이 더 용이한 쪽으로 미분 요소를 설정하면 된다.) 해당 미분 요소를 이용할 때 도심을 구하는 식은 다음과 같다.

 

$\overline{x}=\frac{\int_{A}^{}x_{c}dA }{A}=\frac{\int_{x}^{}x_{c}\cdot l(x)dx }{A}$

$\overline{y}=\frac{\int_{A}^{}y_{c}dA }{A}=\frac{\int_{x}^{}y_{c}\cdot l(x)dx }{A}$

[수식 4] 미분 요소 재설정시 도심 계산

 

 주의해야할 사항은 $x_{c},y_{c}$가 미분 요소의 도심 좌표(x,y)값이라는 것이다. 이는 모멘트 합이 같다는 원리에서 기인하는데, 도형의 도심 좌표가 전체 면적의 대표 거리이듯이 적분 시에도 미분 요소의 도심 좌표와 면적을 곱한 값을 모두 합쳐 총 모멘트 합이 된다. 미분 요소가 2차원(dxdy)일 때에도 미분 요소의 도심 좌표에 면적을 곱하나, 그 크기가 매우작기 때문에 미분요소의 좌표 그 자체가 도심 좌표가 되는 것이다. [수식 4]에서도 dx가 매우 작기 때문에 $x_{c}=x$가 된다. 그러나 $y_{c}$는 각 미분 요소마다 달라지는데 이는 직사각형의 세로의 중점을 구하여 계산할 수 있다. 

 

[그림 3] 부분 요소를 이용한 1차 모멘트 계산

 

(도심 좌표)x(전체 요소)=$\sum$ (부분 도심 좌표)x(부분 요소)=$\int$ (미분 요소 도심 좌표)x(미분 요소)

 

 중요한 것은 1차 모멘트는 어떻게 계산해도 반드시 (도심 좌표)x(전체 면적 or 부피)로 같은 결과가 나온다는 것이다. 따라서 꼭 미분 요소가 아니더라도  [그림 3]처럼 부분의 도심을 구할 수 있다면 각 부분들의 모멘트 합으로 전체 요소의 도심을 구할 수 있다. 미분 요소를 이용할 때에는 적분하기 쉬운 미분 요소를 설정함으로써 도심을 쉽게 구할 수 있다. 더 구체적인 예시는 다른 글에서 다루도록 한다.

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  이번 글에서는 도심의 정의와 계산법에 대해서 살펴보았다. 해당 글에서 나아가 다양한 평면 도형 및 입체 도형의 도심 좌표를 정리한 글이나 적절한 미분 요소를 설정하는 예시 등을 다룰 예정이다.